AdvancesinEducation教育进展,2017,7(6),328-333

:///journal/ae

/10.12677/ae.2017.76051

SomeFamousProblemsSolvedbyFull

ProbabilityFormula

XiaohanYang

SchoolofMathematicsScience,TongjiUniversity,Shanghai

Received:Oct.19,2017;accepted:Nov.1,2017;published:Nov.8,2017thstth

Abstract

entingsomeinter-

estingandfamousproblemsthatareapplicatiofthissubjectinsteadofmathematicsdeduction,

thispaperattemptsnotonlytoillustratehowthitremelyimportantformulacomesintoplay

butalsotoletindividualfeelitisfundamentalandawesometolearnprobability.

Keywords

FullProbabilityFormula,MontyHallProblem,Simpson’sParadox,SensitivityAnalysis

全概率公式解释的经典问题

杨筱菡

同济大学数学科学学院，上海

收稿日期：2017年10月19日；录用日期：2017年11月1日；发布日期：2017年11月8日

摘要

《概率论与数理统计》课程与实际问题联系非常密切，其重要性不言而喻。另一方面，不管是教科书还

是学生，在教学和学习过程中都缺乏直接体会概率统计课程重要性的载体。本文尝试以课程中一个非常

重要的公式——全概率公式为切入点，收集整理了用全概率公式解释的一些有趣的经典问题，并结合直

观的树图讲解，使得学生在轻松掌握全概率公式这个知识点的同时，还有了利用概率统计方法解释现实

中经典案例的直观体验，寓教于乐，提高学习积极性。

文章引用:杨筱菡.全概率公式解释的经典问题[J].教育进展,2017,7(6):328-333.

DOI:10.12677/ae.2017.76051

杨筱菡

关键词

全概率公式，蒙提霍尔问题，辛普森悖论，敏感性问题

Copyright©2017byauthorandHansPublishersInc.

ThisworkislicensedundertheCreativeCommAttributionInternationalLicense(CCBY).

/licenses/by/4.0/

1.

引言

众所周知，全概率公式是《概率论与数理统计》课程中一个非常重要的公式。在大多数的教科书[1][2]

上，我们能看到详细的关于全概率公式的介绍及公式的推导。纵观以往的文献，也不难发现很多关于完

备事件组的分解注释、这个公式的推广及其应用[3][4][5][6]，教案设计、教学方法研究[7]等等，但是很

少有文献讨论关于这一知识点的例子选择和收集。我们在教与学的过程中通常都会借助一些例子来加强

对数学概念或公式的理解和运用，例如疾病检测就是一个被经常选入教科书的典型例子，因为例子是最

直接最有效的学习载体，也是理解知识点的最佳途径。笔者在多年的教学过程中，参考了多本教材，发

现全概率公式这一知识点的例子都比较中规中矩，主要注重对全概率公式的讲解和运用，但是相对都比

较沉闷，学生在学习过程中缺乏兴趣和动力，主动性不高。因此，在本文中，我们收集整理了三个和全

概率公式相关的生动有趣的问题或例子，供学生学习和理解这两个公式时借鉴，同时也能了解一些流传

的经典案例，提高学习概率统计的积极性。

为了后续内容介绍的连贯性，首先，我们还是先简单阐述一下全概率公式的定义。

完备事件组的定义：设

E

是随机试验，

Ω

是相应的样本空间，A

1

,A

2

,,A

n

为事件组，若

A

1

,A

2

,,A

n

满足条件：(1)A

i

=

A

j

φ(i

≠

j)；(2)

A

1

A

2

A

n

=Ω

，则称事件组

A

1

,A

2

,,A

n

为样本空间的一个完

备事件组。完备事件组完成了对样本空间的一个分割。同时也完成了对事件B的一个分割，见图1和图2。

全概率公式：设A

1

,A

2

,,A

n

为完备事件组，且P(A

i

)>0(i=1,2,,n)，

B

为任一事件，则

P(B)=∑P(A

i

)P(B|A

i

)

i=1

n

ionofthesamplespace

图1.完备事件组

DOI:10.12677/ae.2017.76051329

教育进展

杨筱菡

例如，当n=2时，即为P(B)P(A)P(B|A)+PAPB|A

。下面的树图(图3)给出了全概率公式的分解。

=()()

2.蒙提霍尔问题(MontyHallProblem)

这是一个源自博弈论的数学游戏问题。这个概率问题也因为影片“决胜21点”中，主角班·坎贝尔

(BenCampbell)成功解开教授米基·罗沙(MickeyRosa)在课上的提问而非常有名。影片中是这样描述的，

有三扇关闭了的门A、B和C，其中一扇门后是一辆汽车(寓意价值高，是奖品)，其他两扇门后各藏有一

只山羊(寓意价值很低)，Ben选了第一扇门A，然后教授Michey把第三扇门C打开了，后面是一只山羊。

这时候教授Michey问Ben：“你换不换到第二扇门？”Ben的回答是：换。因为如果不换，赢得汽车的

12

概率是

；如果换，赢得汽车的概率将是。

3

3

这样的回答似乎感觉上与我们的直观相悖，因为从直观上来说，既然已经知道C门后是羊，那么A

1

门和B门一个后面是汽车，另一个后面是山羊，不管选A或B，选到汽车山羊的概率都是

。换句话说，

2

1

这时候，换或不换，赢得汽车的概率都是

。事实上，如果Ben先选中的A门后是山羊，换后百分之百

2

21

赢；如果A门后是汽车，换后百分之百输。而A门后是山羊的概率是

，A门后是汽车的概率是。所

33

1

以不管怎样都换，相对最初的赢得汽车仅为

的机率来说，转换选择可以增加赢的机会。

3

ionofeventB

图2.事件B的分割

agramoffullprobabilityformula

图3.全概率公式的树图分解

DOI:10.12677/ae.2017.76051330

教育进展

杨筱菡

关于这个问题，我们可以查询到很多种解释方法，而借助全概率公式的解释是比较容易理解的一种

解释方式。首先可以用树图(图4)来表示两个不同策略及其相应的概率值。

首先设

A

=“最初选择的门后是汽车”，

B

表示“最终赢得汽车”，则由已知条件知，实际情况中

12

汽车在A门后的概率是

，不在A门后的概率是，即

3

3

=P(A)

12

。

=,PA

33

()

策略一：Ben不换选择，即仍然选择A门，则Ben能最终赢得汽车的概率，即

P(B)=P(A)P(B|A)+PAPB|A=()()121

×1+×0=

，

333

策略二：Ben换选择，即换至未开启的B门，则Ben能最终赢得汽车的概率，即

P(B)=P(A)P(B|A)+PAPB|A=()()122

×0+×1=

，

333

所以，显然，策略二即Ben换到未打开的B门，他能赢得汽车的概率将比不换增加一倍。

3.辛普森悖论(Simpson’sparadox)

例如，有两种治疗肾结石的方案：方案1和方案2。在接受方案1治疗的所有患者中小结石患者占

23%，大结石患者占77%，小结石患者的治愈率是93%，大结石患者的治愈率是73%。在接受方案2治

疗的所有患者中小结石患者占67%，大结石患者占33%，小结石患者的治愈率是87%，大结石患者的治

愈率是69%。如表1所示。

首先，我们发现不管是对小结石患者还是大结石患者，方案1的治愈率都要高于方案2，那么我们

能就此判断方案1要优于方案2吗？

同样设

A

=“小结石患者”，

B

=“治愈”，

方案1：由已知条件可知：

=P(A)0.23,=PA0.77,=P(B|A)0.93,=PB|A0.73

，

则根据全概率公式，可得所有接受方案1的患者治愈率为：

()()

P(B)=P(A)P(B|A)+PAPB|A=0.23×0.93+0.77×0.73=0.776()()

策略一：不换选择策略二：换选择

agramofMontyHallProblem

图4.蒙提霍尔问题策略树图

DOI:10.12677/ae.2017.76051331

教育进展

杨筱菡

atmentsforkidneystone

表1.两种治疗肾结石的方案

方案1

患者比例

小结石患者(A)

大结石患者(

A

)

23%

77%

治愈率(B)

93%

73%

患者比例

67%

33%

治愈率(B)

87%

69%

方案2

方案2：由已知条件可知：

=P(A)0.67,=PA0.33,=P(B|A)0.87,=PB|A0.69，

则所有接受方案2的患者治愈率为：

()()

P(B)=P(A)P(B|A)+PAPB|A=0.67×0.87+0.33×0.69=0.8106，

所以，方案2的患者治愈率要比方案1高！这个结论大大出乎我们之前的直观结论。

究其原因，那是因为之前观察数据的时候，我们比较的是每种方案下，不同患者的治愈率，换句话

说，我们比较的这些“治愈率”都是条件概率。

如果把不同患者定义成“原因”(

A

和A)，治愈定义成“结果”(

B

)。也可以说，我们比较的是，在

已知不同“原因”发生的条件下，“结果”发生的概率。而通过全概率公式的计算，最终我们只是比较

“结果”发生概率的大小，这是综合了所有“原因”以后的一个结论。而各个“原因”在全概率公式计

算中占有的权重直接影响了最终的概率结论，发生了所谓的“悖论”的出现！

()()

4.敏感性问题调查(sensitivityanalysis)

对于考试作弊，博，偷税漏税，酒后驾车等一些涉及个人隐私或利害关系，不受被调查对象欢迎

或感到尴尬的敏感问题，即使做无记名的直接调查，也很难消除被调查者的顾虑，他们极有可能拒绝应

答或故意做出错误的回答，很难保证数据的真实性，使得调查的结果存在很大的误差。如何设计合理的

调查方案，来提高应答率并降低不真实回答率呢？基于全概率公式的调查方案设计就能解决这个问题。

调查方案设计的基本思想是，让被调查者从

问题1：你在考试中曾经作弊过吗？

问题2：你生日的月份是奇数吗？(约定一年有365天)

这两个问题中，随机地选答其中一个，同时调查者并也不知情被调查者回答的是哪一个问题，从而

保护被调查者的隐私，消除被调查者的顾虑，能够对自己所选的问题真实地回答。

调查者准备一套13张同一花的，在选答上述问题前，要求被调查的学生随机抽取一张，看后

放回，调查者并不知道学生抽取的情况。约定如下：如果学生抽取的是不超过10的数则回答问题1；反

之，则回答问题2。假定调查结果是收回400张有效答卷，其中有80个学生回答“是”，320个学生回

答“否”，求被调查的学生考试作弊的概率p。

以

A

表示选答问题1，

B

表示回答“是”，P(B|A)=p，则由已知条件知：

=P(A)

103184

，

=,PA,=PB|A

1313365

()()

由全概率公式P(B)=P(A)P(B|A)+PAPB|A=

=p

DOI:10.12677/ae.2017.76051332

()()1031841

×p+×=

，由此可算得

13133655

397

≈0.109

。

3650

教育进展

杨筱菡

5.结语

以上三个例子都是可以利用全概率公式来解决的著名经典问题，从全概率公式的讲解来看，简单易

懂，相比目前的教材中多以盒子取球或掷骰子为背景的例题来说，趣味性大大增强，不失为课堂教学和

活跃气氛的好例子，使得学生能轻松快速掌握全概率公式这个知识点，还有了利用概率统计方法解释现

实中经典案例的直观体验，寓教于乐，提高学习积极性。

参考文献(References)

[1]茆诗松,程依明,濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,2005.

[2]李贤平,沈崇圣,陈子腾.概率论与数理统计[M].上海:复旦大学出版社,2003.

[3]张丽,闫善文,刘亚东.全概率公式与贝叶斯公式的应用及推广[J].牡丹江师范学院学报(自然科学版),2005(1):

15-16.

[4]庄建红.全概率公式、贝叶斯公式的推广及其应用[J].辽宁省交通高等专科学校学报:自然科学版,2003,5(2):

48-50.

[5]陈光曙,王新利.全概率公式的推广及应用[J].高等数学研究,2010,13(4):53-55.

[6]朱凤娟.全概率公式的启发式教学方法研究[J].渤海大学学报(自然科学版),2008,29(1):66-68.

[7]唐旭晖,李冱岸,段利霞.全概率公式的推广与应用[J].高等数学研究,2011,14(4):51:52.

知网检索的两种方式：

1.打开知网页面/kns/brief/?dbPrefix=WWJD

下拉列表框选择：[ISSN]，输入期刊ISSN：2160-729X，即可查询

2.打开知网首页/

左侧“国际文献总库”进入，输入文章标题，即可查询

投稿请点击：/

期刊邮箱：ae@

DOI:10.12677/ae.2017.76051333

教育进展